瞭解及優化MTF


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摘要:本文章解釋如何使用MTF操作數、如何選擇取樣數以及演算法,並說明優化MTF時最好的方式。

原文連結:How to Optimize on MTF
原文作者:Mark Nicholson
原文發布時間:May 07, 2007


什麼是MTF
調製傳遞函數 (Modulation Transfer Function,簡稱MTF) 是描述光學系統性能最重要的一種方式。MTF描述了影像在不同空間頻率下的對比度,是一種利用傅立葉理論來描述成像光學系統的方式。
空間頻率的定義是在成像焦平面上,單位是cycles/mm,如果系統是無焦系統,則定義為cycles/milliradian,milliradian是微弧度,也可以用其他角度單位描述。 “Cycles” 才是描述正弦震幅的MTF反饋最精確的用語。通常我們會聽到人們用 “line pair” 來描述,但嚴格來說,line pair (線條對) 指的是一對非黑即白的線條排列,而不是正弦的變化。不管是正弦變化,還是黑白線條,OpticStudio都可以計算。


上面的Geometric Bitmap Image Analysis中,可以在三個男孩的區塊上,看到 “好” 的影像品質 (註1):但要多好才算是好? 我們可以使用不同條紋圖的對比度來當作量化的依據。MTF描述了不同空間頻率時,從物面成像到像面的光學傳遞函數 (Optical Transfer Function) 的模數 (Modulation),MTF是一個用來描述光學系統性能常用的方式,並且我們也經常把MTF設為優化的目標或是公差分析的對象。


上圖是這個鏡頭的MTF曲線圖,顯示了不同空間頻率下的對比度,以及這個鏡頭能支援的最大空間頻率。在這個範例中,我們把空間頻率顯示最大限制到100 cycles/mm。途中還可以看到一條黑線,代表繞射極限時的最大效能,這條線是假設鏡頭完全沒有像差時,以該鏡頭的F/#來說,所能達到的最好對比度。

註:注意,很明顯的影像品質會受到螢幕解析度以及影像壓縮的影響。這個模擬中的原始影像是相片等級的。請看這篇知識庫文章以取得更多細節:How to Produce Photo-Realistic Output Images


如何優化MTF
當RMS波前差 (RMS Wavefront) 趨近於0的時候,MTF也會趨近於他的繞射極限效能。因此預設的RMS Wavefront評價函數事實上非常適合拿來初步優化,以到達最佳的空間頻率響應。然後需要時,你可以再使用特定的MTF優化操作數,當作最終的系統微調。
MTF計算會比波前計算還要久很多,因此我們強烈建議一開始先用波前差來優化。此外當系統的性能還遠遠不到堪用程度時,直接優化MTF往往會在優化過程中停頓。舉例來說,如果我們把前一章節提到的成像透鏡,設定讓他稍微失焦,你可以看到MTF會滑落得非常快,馬上到達0,之後又再次爬升。


這會讓解析度的變化非常不可預期,導致局域優化器可能會停滯不動,因為MTF必須先變差,然後才會變好。雖然我們也可以使用Hammer或是Global Search來處理這個問題,但最好的方法仍然是先用波前差優化,直到所有需要的空間頻率都至少落在MTF第一次降到最低點之前。至少要到這個階段,我們才建議你開始針對特定MTF設定優化目標。


繞射MTF優化
在分析時最常用的MTF演算法是基於Fraunhofer繞射理論的。計算的方法是追跡一批在光瞳上網格分布的光線,然後寄用快速傅立葉轉換 (fast Fourier transform) 換算 (因而稱為FFT MTF)。產生的MTF是不同空間頻率的正弦強度分布通過系統後的模數 (modulation)。如果需要,也可以顯示出實數、虛數、相位或是方波強度分布 (黑白相間線條) 的結果。
而當在優化時,通常我們僅需要針對特定的空間頻率優化,而不需要完整計算所有空間頻率的MTF。因此,使用MTF* 這種一次只能計算一個特定空間頻率操作數時 (請參閱Help取得更多資料),我們還提供叫做GRID的參數,讓使用者可以切換要使用上述計算曲線圖使用的網格取樣方法還是另一種更快速、較少取樣的方法,預設系統會採用第二種方法,並且在幾乎所有優化場合下,我們也都建議使用此方法。
類似於Gaussian Quadrature,這個稀疏取樣的計算方法會收斂的非常、非常快,並且可以用比網格方法少很多的光線數就精確到小數點以下好幾位。
以下的表格顯示了兩種方法的收斂程度、收斂所需時間。計算的基礎是一個雙高斯系統,我們測試了在OpticStudio中計算軸上50 lp/mm的多波長MTF下,幾個不同的取樣數時的各種數據。
http://forum.zemax.com/Uploads/Images/91511074-0bbf-4975-af97-4004.gif

下面是相同的資料,但是改用看邊緣的視場:
http://forum.zemax.com/Uploads/Images/52879c32-37db-4e5e-9b64-8832.gif

請注意,一般來說,我們會說對於優化或是公差分析來說,1%的收斂就足夠了。使用儀器量測MTF時,通常在重複性測試中,無法達到0.1%以下的一致性。我們不需要在優化時使用終極的精度;通常三個有效位置便已足夠。不過,兩種演算法事實上都可以在取樣足夠的前提下,收斂到所需的精度,而第二種快速演算法通常可以快上好幾個數量,並且還更加準確許多。
網格取樣演算法只有在一個已知的情況下會收斂得比較快:當系統像差非常大,而結果的MTF非常低的時候,例如低於5%。請注意在這種系統中,通常我們不會用MTF來描述他的性能,並且更不會拿來當作優化目標或是公差分析標準。OpticStudio會自動的偵測,當遇到這種系統時,自動切換到使用網格取樣方法。另外也請注意,在這種情況下,幾何MTF (Geometric MTF) 會是一個更好的選擇。


幾何MTF (Geometric MTF)
想像我們有一個35-mm的單眼相機,其光圈最大是f/1.8。這個鏡頭的像差在光圈全開時非常糟糕。當光圈漸漸縮小時,像差會降低,而影像品質會提升。但影像的提升不會持續下去,小光圈的繞射效應比較強,而阻止你得到更好的成像品質 (透過縮小光圈的方式)。
當系統中的像差達到好幾個波長的時候,我們推薦使用者改用Geometric MTF工具,以及GMT* 優化操作數。幾何MTF的計算方法主要是使用Gaussian Quadrature方法得到幾何的光斑資料,然後進行傅立葉轉換。
使用幾何MTF的主要優點是相對於繞射方法快非常多。幾何MTF在系統像差非常大的時候非常準確,而繞射MTF此時會需要非常多的取樣來收斂。在這種情況下,幾何方法通常可以快上100倍或更多。
幾何MTF甚至可以考慮光學表面散射造成的影響,散射會造成背景變亮,進而降低MTF。
GMTF在使用Global Search時也非常有用,使用者可以有效率的搜尋所有參數空間,發現好的設計的所在區域。
當繞射效應很明顯、很重要的時候,則永遠都應該使用繞射計算。


Huygens MTF
基於FFT的方法來計算點擴散函數 (PSF) 以及MTF是廣為人知的方法,其利用到Fraunhofer繞射理論,並有以下幾個假設:
* 系統的F/#足夠大,而使繞射理論可以使用
* PSF大部分能量所佔據的區域大小相對於系統出瞳到像面的距離足夠小。
* 出瞳相對於入瞳沒有明顯的畸變。這代表在入瞳上均勻的分布的光線到達出瞳時,也必須是合理的均勻。
* 取樣數足夠高而能夠準確計算PSF。

大部分 (但不是全部) 的系統都符合這些假設,而能夠使用Fraunhofer理論假釋,並用FFT方法計算MTF。
Huygens MTF則不一樣,他不使用FFT方法。其唯一的假設是F/#要足夠大,而讓純量繞射理論能夠使用。當然取樣也需要足夠高而能準確計算PSF。
你可以閱讀此知識庫文章瞭解更多Huygens計算方法:What is a Point Spread Function
理論上所有的成像系統都應該可以符合Huygens PSF計算所需的假設Huygens MTF一般來說會比FFT MTF還慢,但在FFT MTF假設失效的系統中更加準確。
有一種狀況我們只能用Huygens計算:如果主光線無法追跡經過系統時,我們就無法計算參考球面波前。參考球面對於許多波前計算都很重要。在這種情況下,我們可以改用Huygens PSF以及MTF計算。其中一個例子就是多鏡面望遠鏡,這種系統中,主光線是無法到達像面的。
http://forum.zemax.com/Uploads/Images/13637df0-5a16-42a9-a02e-050c.gif

由於主光線無法追跡到達像面,OPD也就無法計算,因而任何需要OPD資料的計算也都無法進行:
http://forum.zemax.com/Uploads/Images/e2deb13c-f5a7-4156-93bf-866b.gif

此時Huygens PSF以及MTF計算能完美的運作,因為他們不需要指定任何光線做為參考:
http://forum.zemax.com/Uploads/Images/d671b158-87d1-4e7c-bf7b-c6f1.gif

http://forum.zemax.com/Uploads/Images/05a0f86d-ce52-4124-8f0f-e583.gif

此檔案可以在OpticStudio的範例資料夾中找到,位置是\Samples\Non-sequential\Miscellaneous\Multiple mirror telescope.ZMX

最後,Huygens還有一個優點,那就是不同組態 (configuration) 的MTF可以被一起考慮並計算。這對於多鏡面望遠鏡設計也非常有用,但特別是對於所謂的Very Long Baseline系統非常好用,這種系統的主鏡會被分拆開,相隔非常長的一段距離。在這種狀況下,我們無法使用常見的入瞳來計算,因為擊中主鏡的光線太少而沒有效率。在這種特殊狀況下,Huygens會變成唯一可用的方法。
要優化Huygens MTF的話,請使用MTH* 操作數。


總結
調製傳遞函數 (MTF) 是光學系統設計中非常重要的參數。OpticStudio提供了許多種不同的演算法來計算。
* 基於Frauhofer理論的FFT方法是最常見的做法。OpticStudio會計算該鏡頭能支援的所有空間頻率下的MTF響應,以MTF對頻率的方式來表示。當要優化或是公差分析MTF時,我們只需要針對特定幾個空間頻率計算MTF,因此會採用較快速的且精度較高的計算方式。如果需要,我們也提供參數可以切換使用網格取樣方法計算MTF。
* 對於有巨大像差的傳統光學系統,幾何MTF會以很快的速度計算MTF。他會是一個很好的 “估算工具”,優化時速度會跟RMS Spot Radius幾乎一樣快。
* 對於不符合Fraunhofer近似的系統,或是光線無法被追跡的系統,我們可以改用Huygens計算。它提供了精確的MTF計算。唯一的缺點是Huygens計算速度明顯比較慢。

無論使用哪種方法,請注意MTF會隨著RMS波前差接近零而逼近繞極限。因此我們強烈推薦使用RMS波前差來初步優化。同時,請不要在所有想要的空間頻率都落在第一個MTF低點之前就開始優化MTF。


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