在跟波前有關的計算中,OpticStudio是如何取樣的?


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摘要: 此文章說明如何解讀跟波前有關的分析圖,例如Wavefront Map、PSF、以及MTF。

原文連結:What Does the Sampling Correspond to in Wavefront-Based Calculation?
原文作者:Ken Moore
原文發布時間:December 15, 2015


問題:在Wavefront Map以及相關的分析中,取樣網格的中心點在哪裡?
要討論這個問題,讓我們打該這個內建範例檔:<Data>\Samples\Sequential\Objectives\Cooke 40 degree field.ZMX。首先我們打該Wavefront Map,這個波前的資料是Zemax OpticStudio中很多分析功能的基礎,例如PSF、MTF或是包圍能量 (Enclosed Energy) 等。打該Wavefront Map後,設定如下:


進行數值計算時,我們的其中一個目標是保持光瞳的對稱性,並且主光線 (chief ray) 必須是矩陣中實際的一個點,落在矩陣的中間處。同時,要計算FFT,我們也需要決定一個中心點,讓FFT的演算法知道。為了符合這些需求,我們定義光瞳在出瞳空間中的中心點 (近場,或是空間域,看你從哪個觀點看) 在 (n/2 + 1, n/2 + 1)。因此,如果你足夠靠近的看Wavefront Map,你可以在看到最上方的一排以及最右方的一排資料都是零。此時中心點位在 (17, 17)。


現在讓我們來看看PSF。PSF事實上是Wavefront Map的FFT。如果我們設定PSF,設定如下:


我們可以看到PSF的中心點現在是在像素 (n/2, n/2) 的地方,也就是 (16, 16)。這跟FFT的特性以及Zemax OpticStudio處理方向規範的方式有關。當矩陣中心點在某個域 (例如空間域) 中是n/2 + 1時, 則他在另一個域 (頻率域) 中就是n/2。仔細看下面的圖,你就會發現最左邊與最下面都有一排空的資料。


接下是MTF,MTF是Wavefront Map的autocorrelation,所以他的像素數是兩倍多。因此要在Zemax OpticStudio中計算MTF,一開始我們會把Wavefront Map的外圍補零,讓32x32矩陣變成64x64大,然後再執行autocorrelation。Surface MTF這個工具實際上是對波前圖計算兩次FFT – 換句話說,MTF就是PSF的傅立葉轉換。現在打開FFT Surface MTF並設定如下:


我們會得到如下結果:


可以看到最大值現在是 (32, 32),或者說是 (n/2, n/2)。
關於FFT Surface MTF圖中的頻率間距,可以從autocorrelation的邊緣是1/(lambda*F/#)來知道,其中lambda是系統所使用的波長。當系統是多波長時,Zemax OpticStudio會讀取所有的波長以及對應的F/#資料計算,然後取最大的值來當作整個圖的截止頻率。其他波長則會在光瞳空間中縮放,讓PSF的取樣間距一樣。然後這個截止頻率會被乘以2,以得到整個OTF的寬度 (在上圖中是850.06 cycles/mm),最後再除以2*n (因為補零的關係,所以要取兩倍大) ,就可以得到兩頻率取樣點的間距。
舉例來說,OTF寬度是850.06 cycles/mm,並且取樣數是32 x 32。因此點間距就是850.06/64 = 13.282 cycles/mm。FFT Surface MTF的中心點是位在 (n/2, n/2) = (32, 32),這個像素位置對應到頻率為零的位置。換句話說,第32欄的像素對應到X空間頻率為 0 cycles/mm的位置,而第33欄的像素對應到13.282 cycles/mm的位置,第34欄則是26.564 cycles/mm,依此類推。最後一欄 (第64欄) 則對應到32*13.282 = 425.03 cycles/mm。第一欄則對應到-31*13.282 = -411.748 cycles/mm。
如同PSF一樣,在FFT Surface MTF的最左邊與最下面也有一行空白資料。因此,左方欄位與右方欄位並沒有完全對稱,上方與下方也是。請注意上圖中的418.5是包含最外圍像素的 “半格” 像素的。


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