瞭解何謂Sobol取樣


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本文章介紹了:
● 什麼是Sobol取樣?
● Sobol取樣有什麼比隨機光線產生方法更好的地方?
● 它有什麼限制?
原文連結:Understanding Sobol Sampling
原文作者:Mark Nicholson
原文發布時間:November 10, 2005
文章附件:檔案下載

隨機取樣以及Sobol取樣模式
一個光源物件會在三維空間以及角度空間中產生隨機光線分佈。舉例來說,一個Source Point光源物件產生光線全部擁有一樣的起始發射座標,但是在光線方向上會依照餘弦來均勻的分佈。當我們從這個光源追跡光線時,我們必須追跡 “足夠” 多的光線,以精確描述這個光源。

光源的機率方程式通常會使用亂數產生器來取樣,亂數產生器的目標是製造一系列互相無關亂數,然後藉由追跡大量的光線 (產生許多亂數) ,我們可以精確的取樣光源的機率方程式。
{所有基於電腦計算的亂數產生演算法都是偽隨機 (quasi-random) 的。它們受限於一個週期,過了這個週期便會重複出現,不再是互相無關的亂數。這個週期終極來說是由電腦的位元數決定,但一般來說是決定於演算法的假設。因此沒有一個內建的亂數產生器是 “真正” 隨機的。但在這個文章中,我們把Zemax OpticStudio中的長周期亂數產生器當作 “真正” 的隨機,用來跟Sobol演算做出區隔。}

Sobol取樣採用了不同的方式來取樣。比起產生亂數,它著重於在機率空間中,產生均勻的分佈。這並不是單純的使用網格來填滿而已,而是使用一個本質上隨機,但是巧妙的去 “填滿” 機率方程式中,之前沒有取樣到的區域。
附件的zip檔示範了簡單的光學系統。系統中兩個矩形光源照亮了探測器,這些光源物件被設定會產生均勻的矩形光線分佈。下面個光源使用Zemax OpticStudio的真實亂數產生器,上面的光源則使用Sobol取樣模式。
http://forum.zemax.com/Uploads/Images/5eb68a9d-d319-455b-9a0a-0310.gif

如果我們對於每個光源都追跡10,000條光線,會很難看出兩者之間有何不同:


追跡100,000條光線則可以讓差別更加明確


Sobol取樣模式產生比真實亂數更加均勻,但本質上仍然隨機的亂數分佈。真實亂數的分佈較為 “塊狀” ,可以看到較多不均勻的亮點以及較暗的暗區。如果把真實亂數區塊放大的話,可以看到:


上圖紅色像素代表了三條光線落在了同一個像素上,並且有許多區域是沒有光線落在上面的,因此這個區域的雜訊比Sobol照明的區域更大。

訊噪比 (Signal to Noise Ratio)
下面是一個追跡每個光源各1,000,000光線的結果:


10,000,000條光線:


100,000,000條光線
http://forum.zemax.com/Uploads/Images/80083516-e4f1-4631-b537-cfc1.gif

1,000,000,000條光線!


當我們追跡非常少 (1萬) 或是非常大量 (10億) 光線時,Sobol取樣的方式與真實亂數方式的結果非常相似。因此Sobol取樣主要在這些 “特殊” 區域中非常有效。亂數光線追跡的訊躁比 (Signal to Noise Ratio, SNR) 為sqrt(N),N是平均擊中每個像素的光線數。而對於Sobol取樣模式,SNR與N成線性關係 (請看參考 1)。我們可以藉由觀看10億條光線分佈圖的Cross-Section來瞭解:


然而,請注意Sobol取樣並不是萬能的。在這個例子中,我們知道光源照度預期上應該是均勻的,因此我們判斷使用Sobol取樣是 “較好” 的選擇。但極端的說,在任何一個蒙地卡羅模擬中,並沒有比真實亂數更加精確的模擬方法。因為這個原因,Zemax OpticStudio允許使用者自行決定使用Sobol取樣模式還是Zemax OpticStudio內建的長周期亂數產生器,使用者可以在物件屬性編輯器視窗的Source標籤下設定。
http://forum.zemax.com/Uploads/Images/1341aa68-d115-4827-a68b-af52.gif


總結
Sobol取樣可以顯著的減少模擬時間,並在一些情況下取代蒙地卡羅光線追跡模擬。Sobol取樣通常可以比真實亂數光線產生更加快速的收斂模式。

參考文獻
Press, Flannery, Teukolsky, and Vetterling, Numerical Recipes, Cambridge Press.


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